Зенон (ок. 490 г. До Р. Х. - ок. 430 г. До Р. Х.) принадлежал к элейской греческой философской школе, которая провозглашала, что любое изменение в мире иллюзорно, а бытие едино и неизменно. Учитель Зенона Парменид утверждал: «Вселенная неизменна, ибо, признав изменение, мы признали бы небытие того, что существует, а лишь бытие существует» (). Точка зрения Зенона более диалектична. Он говорил: «Предположите существование вашего изменения; в нем, как в изменении, содержится его ничто, или, иначе говоря, оно не существует». При этом нужно заметить, что для Парменида изменение означало определенное и завершенное движение, а Зенон высказывался и выступал против движения как такового, или, иначе говоря, против чистого движения. «Чистое бытие не есть движение, оно, наоборот, есть ничто движения».

Тем, кто придерживался противоположной точки зрения Зенон предлагал опровергнуть его парадокс, сформулированный в виде четырех апорий (от греч. aporia «безвыходность»), показывающий, что движение (образец «видимого» изменения) логически невозможно. Большинству современных читателей парадокс Зенона знаком именно в приведенной выше формулировке (ее иногда называют дихотомией - от греч. dichotomia «разделение надвое»). Первая апория провозглашала, что невозможно пересечь комнату. Ведь сначала нужно преодолеть половину пути. Но затем нужно преодолеть половину того, что осталось, затем половину того, что осталось после этого, и так далее. Это деление пополам будет продолжаться до бесконечности, из чего делается вывод, что вам никогда не удастся пересечь комнату.

Апория, известная под названием «Ахилл», еще более впечатляюща. Древнегреческий герой Ахилл, непобедимый в беге, собирается состязаться с черепахой. Если черепаха стартует немного раньше Ахилла, то ему, чтобы ее догнать, сначала нужно добежать до места ее старта. Но к тому моменту, как он туда доберется, черепаха проползет некоторое расстояние, которое нужно будет преодолеть Ахиллу, прежде чем догнать черепаху. Но за это время черепаха уползет вперед еще на некоторое расстояние. А поскольку число таких отрезков бесконечно, быстроногий Ахилл никогда не догонит черепаху.
А вот третья апория словами самого Зенона: «Если что-то движется, то оно движется либо в том месте, которое оно занимает, либо в том месте, где его нет. Однако оно не может двигаться в том месте, которое оно занимает (так как в каждый момент времени оно занимает все это место), но оно также не может двигаться и в том месте, где его нет. Следовательно, движение невозможно. Этот парадокс называется «Стрела».
Наконец, существует четвертая апория, в которой речь идет о двух равных по длине колоннах людей, движущихся параллельно с равной скоростью в противоположных направлениях. Зенон утверждает, что время, за которое колонны пройдут друг мимо друга, составляет половину времени, нужного одному человеку, чтобы пройти мимо всей колонны.

Апории Зенона будоражили творческую мысль с самого того времени, как они были сформулированы. Известно, что циник Диоген Синопский в ответ на доводы нашего философа молча встал и начал ходить взад и вперед; таким образом он опроверг его парадокс о невозможности движения делом. Но там, где ведут борьбу доводами, пишет Гегель, допустимо лишь такое же опровержение доводами; нельзя в таком случае удовольствоваться чувственной достоверностью, а нужно понять. К тому же наличность видимого движения и не оспаривалась Зеноном. Движение обладает чувственной достоверностью, оно существует, подобно тому, как существуют слоны; в этом смысле Зенону и на ум не приходило отрицать движение. Вопрос здесь идет о его истинности, но движение неистинно, ибо представление о нем содержит в себе противоречие; и значит движение не обладает истинным бытием. Опровержение данного положения - совсем другой уровень полемики и подняться до него не просто, поскольку в парадоксе Зенона едва ли не впервые оказались сведены воедино такие фундаментальные понятия, как «пространство», «время», «движение» и человеческое сознание. Соответственно, чтобы доказать нелепость его апорий, необходимо сначала определить философскую, физическую природу пространства, времени и движения.

Сам Гегель, уделивший парадоксу Зенона важное место в своих «Лекциях по истории философии», строит свои доводы следующим образом. Первая форма опровержения состоит в утверждении: «Движение не обладает истинностью, так как движущееся должно дойти до половины пространства, прежде чем оно дойдет до цели». То есть, мы должны признать, как предпосылку, непрерывность пространства. Движущееся должно достигнуть известного конечного пункта; этот путь представляет собою целое. Чтобы пройти целое, движущееся должно сначала пройти половину; теперь конечным пунктом является конец этой половины, но эта половина пространства есть в свою очередь целое, которое, таким образом, также имеет в себе половины; движущееся, следовательно, прежде должно дойти до половины этой половины – и т.д. до бесконечности. Зенон здесь указывает на бесконечную делимость пространства: так как пространство и время абсолютно непрерывны, то нигде нельзя остановиться с делением. Каждая величина (а каждое время и каждое пространство всегда обладают величиной) делима в свою очередь на две половины, которые должны быть пройдены, и это всегда имеет место, какое бы маленькое пространство мы ни взяли. Движение оказывается прохождением этого бесконечного количества моментов; оно поэтому никогда не кончается; движущееся, следовательно, не может дойти до своего конечного пункта.

Общее разрешение этого противоречия, даваемое Аристотелем, заключается в том, что пространство и время не бесконечно разделены, а лишь бесконечно делимы. Но может показаться и действительно кажется, что, будучи делимы, т.е. разделены в возможности, они должны быть разделены также и в действительности, ибо в противном случае их нельзя было бы делить до бесконечности. Исходя из этого соображения, мы, не задумываясь, соглашаемся, как с чем-то невинным, с утверждением, что движущееся должно дойти до половины; но, таким образом, пишет Гегель, мы уже согласились со всем остальным, т.е. согласились, что оно никогда не дойдет, ибо сказать это раз равнозначно повторению этого высказывания бесчисленное количество раз. Возражают, что в большом пространстве можно признать необходимость дойти до половины, но вместе с тем представляют себе дело так, что в очень маленьком пространстве доходят до такой точки, где деление пополам больше уже невозможно, т.е. доходят до неделимого, не непрерывного, доходят до того, что не есть пространство. Но это неверно, ибо непрерывность есть существенное определение; в предположении наличности половины содержится уже перерыв непрерывности. Следует сказать: не существует половины пространства, ибо пространство непрерывно; можно разломать на две половины кусок дерева, но не пространство, а в движении имеется только пространство. Можно было бы сказать: пространство состоит из бесконечно многих точек. Обыкновенно представляют себе, что можно переходить от одной такой неделимой точки к другой, но таким образом нельзя продвинуться дальше, ибо таких точек – бесчисленное множество. Своим невинным на первый взгляд допущением Зенон заставляет нас расщепить непрерывное на его противоположность, на неопределенное множество, в следствии этого мы не принимаем непрерывности и, следовательно, не принимаем наличности движения. Ошибочно утверждение, будто оно возможно, если дойдешь до одной такой точки, которая уже не непрерывна; это ошибочно, потому что движение есть связь.

Точно также обстоит дело со второй апорией. Более быстрое движение, утверждает Зенон, не помогает Ахиллу пробежать то расстояние, на которое оно отстает; время, которое он употребляет для этого, используется всегда и более медлительным, чтобы в продолжение его снова опередить первое, хотя и на все меньшее и меньшее расстояние, которое, однако, благодаря непрерывному делению пополам, никогда вполне не исчезает. Аристотель, рассматривая этот довод, говорит по поводу его кратко: «Это доказательство представляет ту же самую бесконечную деленность; оно, однако, ложно, ибо быстроходный все же догонит медленного, если будет дозволено преступить границу». Его ответ, пишет Гегель, правилен и содержит в себе все нужное: в этом представлении принимаются именно две точки времени и два пространства, отделенные друг от друга, т.е. отграниченные друг от друга; если же мы, напротив, примем, что время и пространство непрерывны, так что две точки времени или пространства, как непрерывные, соотнесены друг с другом, то они суть две точки и в равной же мере не суть две точки, а тождественны. В представлении мы разрешаем этот вопрос легче всего, говоря: «Так как второе тело быстроходнее, то оно в одно и то же самое время проходит более значительное пространство, чем медленно движущееся; оно, следовательно, может дойти до того места, откуда начинает свое движение первое тело, а затем – пойти еще дальше». Время, значит, и есть то ограниченное, за пределы которого, согласно Аристотелю, мы должны выйти, то, через которое должно проникнуть дальше; так как оно непрерывно, то мы, чтобы разрешить затруднение, должны сказать, что то, чт; мы различаем как две части времени, должно быть взято как одна часть времени. В движении две точки времени, равно как и две точки пространства, суть на самом деле одна точка. Ведь когда мы желаем уяснить себе вообще движение, мы говорим, что тело находится в одном месте, а затем идет в другое место. Во время движения оно уже не находится в первом месте, но вместе с тем еще не находится во втором месте; если бы оно находилось в одном из этих мест, оно находилось бы в покое. Но где же оно находится? Если скажем, что оно находится между этими двумя местами, то этим в действительности ничего не скажем, ибо в таком случае оно также находилось бы в одном месте, и перед нами возникло бы, следовательно, то же самое затруднение. Но двигаться означает быть в данном месте и в то же время не быть в нем, – следовательно, находиться в обоих местах одновременно; в этом состоит непрерывность времени и пространства, которая единственно только и делает возможным движение. Зенон же в своем умозаключении строго отделял друг от друга эти две точки. Дискретность времени и пространства признаем и мы, но в равной же мере им должно быть дозволено преступать границу, т.е. полагать границу как то, что не есть граница, или полагать деленные части времени, которые вместе с тем суть и неделенные части.

Из сказанного очевидно, каким образом можно опровергнуть третью апорию Зенон, когда он говорит: «Летящая стрела находится в покое, и именно потому, что движущееся всегда находится в равном себе «теперь» и равном себе «здесь», в неразличимом»; стрела – здесь и здесь и здесь. Мы можем сказать о стреле, что она всегда одна и та же, так как она всегда находится в одном и том же пространстве и в одном и том же времени; она не выходит за пределы своего пространства, не занимает другого, т.е. большего или меньшего пространства, но это мы называем не движением, а покоем. В «здесь» и «теперь» упразднено становление иным; в них, правда, положена ограниченность вообще, но она положена лишь как момент; так как в «здесь» и «теперь», как таковых, не содержится различия. Аристотель говорит об этом третьем доказательстве: «Оно возникает из того, что Зенон принимает, будто время состоит из теперь, но если мы не согласимся с этим, не получится и вывода».

Что до четвертого возражения Зенона, то оно построено на противоречии, получающемся при движении в противоположных направлениях; общее движение целиком получает одно тело, тогда как само по себе оно проделывает только часть. А на самом деле расстояние, пройденное одним телом, есть сумма расстояний, пройденных обоими.

Философия в эпоху греко-персидских войн

Движение невозможно. В частности, невозможно пересечь комнату, так как для этого нужно сначала пересечь половину комнаты, затем половину оставшегося пути, затем половину того, что осталось, затем половину оставшегося...

Зенон Элейский принадлежал к той греческой философской школе, которая учила, что любое изменение в мире иллюзорно, а бытие едино и неизменно. Его парадокс (сформулированный в виде четырех апорий (от греч. aporia «безвыходность»), породивших с тех пор еще примерно сорок различных вариантов) показывает, что движение, образец «видимого» изменения, логически невозможно.

Большинству современных читателей парадокс Зенона знаком именно в приведенной выше формулировке (ее иногда называют дихотомией — от греч. dichotomia «разделение надвое»). Чтобы пересечь комнату, сначала нужно преодолеть половину пути. Но затем нужно преодолеть половину того, что осталось, затем половину того, что осталось после этого, и так далее. Это деление пополам будет продолжаться до бесконечности, из чего делается вывод, что вам никогда не удастся пересечь комнату.

Апория, известная под названием Ахилл , еще более впечатляюща. Древнегреческий герой Ахилл собирается состязаться в беге с черепахой. Если черепаха стартует немного раньше Ахилла, то ему, чтобы ее догнать, сначала нужно добежать до места ее старта. Но к тому моменту, как он туда доберется, черепаха проползет некоторое расстояние, которое нужно будет преодолеть Ахиллу, прежде чем догнать черепаху. Но за это время черепаха уползет вперед еще на некоторое расстояние. А поскольку число таких отрезков бесконечно, быстроногий Ахилл никогда не догонит черепаху.

Вот еще одна апория, словами Зенона:

Если что-то движется, то оно движется либо в том месте, которое оно занимает, либо в том месте, где его нет. Однако оно не может двигаться в том месте, которое оно занимает (так как в каждый момент времени оно занимает все это место), но оно также не может двигаться и в том месте, где его нет. Следовательно, движение невозможно.

Этот парадокс называется стрела (в каждый момент времени летящая стрела занимает место, равное ей по протяженности, следовательно она не движется).

Наконец, существует четвертая апория, в которой речь идет о двух равных по длине колоннах людей, движущихся параллельно с равной скоростью в противоположных направлениях. Зенон утверждает, что время, за которое колонны пройдут друг мимо друга, составляет половину времени, нужного одному человеку, чтобы пройти мимо всей колонны.

Из этих четырех апорий первые три наиболее известны и наиболее парадоксальны. Четвертая просто связана с неправильным пониманием природы относительного движения.

Самый грубый и неизящный способ опровергнуть парадокс Зенона — это встать и пересечь комнату, обогнать черепаху или выпустить стрелу. Но это никак не затронет хода его рассуждений. Вплоть до XVII века мыслители не могли найти ключ к опровержению его хитроумной логики. Проблема была разрешена только после того, как Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц изложили идею дифференциального исчисления, которое оперирует понятием предел ; после того как стала понятна разница между разбиением пространства и разбиением времени; наконец, после того как научились обращаться с бесконечными и бесконечно малыми величинами.

Возьмем пример с пересечением комнаты. Действительно, в каждой точке пути вам надо пройти половину оставшегося пути, но только на это вам понадобится в два раза меньше времени . Чем меньший путь осталось пройти, тем меньше времени на это понадобится. Таким образом, вычисляя время, нужное для того, чтобы пересечь комнату, мы складываем бесконечное число бесконечно малых интервалов. Однако сумма всех этих интервалов не бесконечна (иначе пересечь комнату было бы невозможно), а равна некоторому конечному числу — и поэтому мы можем пересечь комнату за конечное время.

Такой ход доказательства аналогичен нахождению предела в дифференциальном исчислении. Попробуем объяснить идею предела в терминах парадокса Зенона. Если мы разделим расстояние, которое мы прошли, пересекая комнату, на время, которое мы на это потратили, мы получим среднюю скорость прохождения этого интервала. Но хотя и расстояние, и время уменьшаются (и в конечном счете стремятся к нулю), их отношение может быть конечным — собственно, это и есть скорость вашего движения. Когда и расстояние, и время стремятся к нулю, это отношение называется пределом скорости. В своем парадоксе Зенон ошибочно исходит из того, что, когда расстояние стремится к нулю, время остается прежним.

Но мое любимое опровержение парадокса Зенона связано не с дифференциальным исчислением Ньютона, а с цитатой из скетча «Второго города», комедийного театра в моем родном Чикаго. В этом скетче лектор описывает различные философские проблемы. Дойдя до парадокса об Ахилле и черепахе, он произносит следующее.

Отправляясь куда бы то ни было, необходимо пройти сначала половину пути, затем половину оставшегося расстояния, и так до бесконечности. Отсюда неминуемо следует вывод: достичь конечного пункта в принципе невозможно, а стало быть, невозможно и само движение

Этот парадокс носит название парадокса дихотомии. Авторство приписывается древнегреческому философу Зенону. Предполагается, что он был сформулирован в качестве доказательства единичности вселенной, и того, что изменение, в том числе и движение - невозможно (как полагал учитель Зенона Парменид).

Люди интуитивно отвергали этот парадокс на протяжении многих веков. С математической точки зрения, решение, сформулированное в XIXвеке, состоит в том, чтобы признать, что половина плюс одна четвертая плюс одна восьмая плюс одна шестнадцатая и т.д. составляет единицу. Это все равно, что сказать: ноль целых и девять в периоде равно единице.

Однако, это теоретическое решение фактически не дает ответа на вопрос, как объект может достичь конечной точки своего движения. Решение этой задачи является более сложным и до сих пор не вполне понятным, если опираться на теории XX столетия, которые отрицают бесконечную делимость материи, времени и пространства.

Зенон Элейский принадлежал к той греческой философской школе, которая учила, что любое изменение в мире иллюзорно, а бытие едино и неизменно. Его парадокс (сформулированный в виде четырех апорий (от греч. aporia «безвыходность»), породивших с тех пор еще примерно сорок различных вариантов) показывает, что движение, образец «видимого» изменения, логически невозможно.

Большинству современных читателей парадокс Зенона знаком именно в приведенной выше формулировке (ее иногда называют дихотомией — от греч. dichotomia «разделение надвое»). Чтобы пересечь комнату, сначала нужно преодолеть половину пути. Но затем нужно преодолеть половину того, что осталось, затем половину того, что осталось после этого, и так далее. Это деление пополам будет продолжаться до бесконечности, из чего делается вывод, что вам никогда не удастся пересечь комнату.

Апория, известная под названием Ахилл, еще более впечатляюща. Древнегреческий герой Ахилл собирается состязаться в беге с черепахой. Если черепаха стартует немного раньше Ахилла, то ему, чтобы ее догнать, сначала нужно добежать до места ее старта. Но к тому моменту, как он туда доберется, черепаха проползет некоторое расстояние, которое нужно будет преодолеть Ахиллу, прежде чем догнать черепаху. Но за это время черепаха уползет вперед еще на некоторое расстояние. А поскольку число таких отрезков бесконечно, быстроногий Ахилл никогда не догонит черепаху.

Вот еще одна апория, словами Зенона:

Если что-то движется, то оно движется либо в том месте, которое оно занимает, либо в том месте, где его нет. Однако оно не может двигаться в том месте, которое оно занимает (так как в каждый момент времени оно занимает все это место), но оно также не может двигаться и в том месте, где его нет. Следовательно, движение невозможно.

Этот парадокс называется стрела (в каждый момент времени летящая стрела занимает место, равное ей по протяженности, следовательно она не движется).

Наконец, существует четвертая апория, в которой речь идет о двух равных по длине колоннах людей, движущихся параллельно с равной скоростью в противоположных направлениях. Зенон утверждает, что время, за которое колонны пройдут друг мимо друга, составляет половину времени, нужного одному человеку, чтобы пройти мимо всей колонны.

Из этих четырех апорий первые три наиболее известны и наиболее парадоксальны. Четвертая просто связана с неправильным пониманием природы относительного движения.

Самый грубый и неизящный способ опровергнуть парадокс Зенона — это встать и пересечь комнату, обогнать черепаху или выпустить стрелу. Но это никак не затронет хода его рассуждений. Вплоть до XVII века мыслители не могли найти ключ к опровержению его хитроумной логики. Проблема была разрешена только после того, как Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц изложили идею дифференциального исчисления, которое оперирует понятием предел; после того как стала понятна разница между разбиением пространства и разбиением времени; наконец, после того как научились обращаться с бесконечными и бесконечно малыми величинами.

Возьмем пример с пересечением комнаты. Действительно, в каждой точке пути вам надо пройти половину оставшегося пути, но только на это вам понадобится в два раза меньше времени. Чем меньший путь осталось пройти, тем меньше времени на это понадобится. Таким образом, вычисляя время, нужное для того, чтобы пересечь комнату, мы складываем бесконечное число бесконечно малых интервалов. Однако сумма всех этих интервалов не бесконечна (иначе пересечь комнату было бы невозможно), а равна некоторому конечному числу — и поэтому мы можем пересечь комнату за конечное время.

Такой ход доказательства аналогичен нахождению предела в дифференциальном исчислении. Попробуем объяснить идею предела в терминах парадокса Зенона. Если мы разделим расстояние, которое мы прошли, пересекая комнату, на время, которое мы на это потратили, мы получим среднюю скорость прохождения этого интервала. Но хотя и расстояние, и время уменьшаются (и в конечном счете стремятся к нулю), их отношение может быть конечным — собственно, это и есть скорость вашего движения. Когда и расстояние, и время стремятся к нулю, это отношение называется пределом скорости. В своем парадоксе Зенон ошибочно исходит из того, что, когда расстояние стремится к нулю, время остается прежним.

источники

Если в каждый определенный момент времени летящая стрела находится в покое, когда она движется?

Парадокс движения

Зенон из Элеи, последователь и поклонник Парменида, обладал точным чувством логической формы и имел дар выбирать подходящий (и остроумный) пример для иллюстрации своих рассуждений; с таким сочетанием качеств мало что может сравниться в философии. Зенон принял обе части философской мысли Парменида: вывод, что множественность и изменение нереальны, и высокую оценку формальной логики как метода испытания теорий на верность путем проверки их на логическую последовательность. Желая доказать, что Парменид был прав, Зенон демонстрировал абсурдность противоположной точки зрения (мнения, что в мире реально существуют множественность и изменение). Его наивысшим достижением в этой области был набор из четырех загадок, которые он придумал, чтобы подтвердить нереальность движения примерами, которые показали бы, что ни здравый смысл, ни пифагорейская наука не могут дать определение движению, не столкнувшись с противоречием или невозможностью.

Современный лектор вполне мог бы начать рассказ о Зеноне в духе самого Зенона:

«Если я скажу: сегодня у меня есть доказательство, что вы не можете дойти оттуда, где сидите, до двери аудитории, потому что дойти невозможно, это, может быть, покажется вам такой нелепостью, что всем нормальным людям среди вас тут же захочется дойти до этой двери, пройти через нее и пойти дальше! Но как раз это я и собираюсь доказать… Я предложу вам четыре довода, которые все вместе покажут, до чего бестолков и неразумен ваш здравый смысл и почему нелепо пытаться дать определение движению…»

Деятельность Зенона не убедила тех, кто пришел после него, в том, что Парменид был прав, но заставила их оценить по достоинству точную формальную логику. Она укрепила формализм, показав, что такие далекие одна от другой области знания, как математика и контрактное право, используют одни и те же логические формы. Она заставила философов аккуратнее обдумывать определения бытия и небытия и их отношение к определению изменения. Зенон раз и навсегда показал математикам, что пифагорейская программа построения непрерывных количеств из конечных рядов дискретных единиц внутренне противоречива и потому ее осуществление невозможно. Греческие философы и ученые, жившие после Зенона, реагировали на него так же, как на Парменида: не приняли идею, что реальность – всеохватывающий и неподвижный единый абсолют, а вместо этого стали доказывать, что формальная логика может быть действенной и разум надежным в мире, где множественность и изменения возможны. Мы можем заметить его влияние у всех последующих греческих мыслителей.

Зенон придал своей критике движения форму головоломок потому, что хотел нанести удар по здравому смыслу и по профессиональным взглядам математиков одним и тем же оружием. Понятые как конкретные ситуации, его головоломки ставят вопросы, которые заставляют здравый смысл признать, что его собственные нечеткие идеи могут оказаться вообще неразумными. Понятые как иллюстрации к более абстрактным критическим замечаниям, те же головоломки показывают, что технические допущения о точках и моментах, на которых основывается их свойство ставить слушателя в тупик, приводят к явному логическому противоречию. Четыре случая были подобраны так, чтобы показать пифагорейцам, поклонникам математики, хорошо знакомым с методом косвенного доказательства, что их определения движения неудачны. Платон пишет, что Зенон «отбивал удары тех, кто смеялся над Парменидом, и делал это интересным образом». Итак, давайте посмотрим на эту контратаку.

Загадок о парадоксах движения четыре. Такое количество примеров Зенон выбрал потому, что ему нужно было опровергнуть четыре разных возможных определения движения. Но сначала перед нами четыре его загадки, которые продолжают восхищать детей, математиков и самых обычных слушателей с тех самых пор, как Зенон впервые рассказал их.

Первый парадокс известен как «Дихотомия», или «Деление на два». Предположим, вы стоите на стадионе на каком-то расстоянии от двери, которая ведет на улицу. Тогда вы никогда не сможете выйти с этого стадиона, потому что перед тем, как дойти до двери, вы должны дойти до середины пути. Но перед тем, как дойти до середины, вы должны пройти середину расстояния до нее. Поскольку движение от одной точки до другой занимает какой-то конечный промежуток времени, а серединных точек бесконечно много, вам понадобится бесконечно много времени для того, чтобы пройти их все и выйти со стадиона. Что не так в этом аргументе? Он вылядит неразумным. Но как все-таки получается, что вы выходите из этой двери?

Если же вас не убедило это деление на два, у Зенона есть вторая головоломка – загадка об Ахилле и черепахе. В ней вы должны снова представить себя на стадионе. Вы смотрите на соревнование по бегу между Ахиллом и черепахой. Поскольку черепаха движется гораздо медленнее, Ахилл позволяет ей стартовать впереди него. Но это ошибка: сделав это, Ахилл никогда не догонит черепаху, говорит Зенон. К тому времени, как Ахилл добежит до места, откуда стартовала черепаха, та переместится вперед в какую-то другую точку. К тому времени, когда Ахилл доберется до этой второй точки, черепаха переместится еще дальше вперед. Так что Ахилл никогда не сможет обогнать черепаху. Греческие слушатели Зенона, несомненно, в первый момент реагировали на это словами: «Но мы же знаем, что в настоящем беге Ахилл обогнал бы черепаху и победил», а потом, немного подумав, приходили ко второй мысли: «Да, конечно, он бы ее обогнал. Но как?» Поскольку нас нелегко убедить в том, что логичные рассуждения ведут к заключению, совершенно противоположному реальности, вызов Зенона побуждает к действию – обосновать, почему становится возможным обогнать черепаху. Мы возвращаемся к его рассказу и даже рисуем схему состязания так, как его описал Зенон, чтобы увидеть, где он сделал какое-то неверное допущение о расстоянии, скорости или движении. Эта схема вылядит так:

«Ахилл и черепаха» Зенона

А – место, откуда стартует Ахилл, Т – место, откуда стартует черепаха. К тому времени, как Ахилл добегает из А в А, черепаха перемещается в Т; пока Ахилл бежит из А в А, черепаха снова перемещается вперед из Т в Т; и так до бесконечности. Эта схема тоже как будто подтверждает, что черепаха выигрывает состязание.

Третий парадокс Зенона, парадокс о стреле, самый простой из четырех, но, как показала история, самый сильный из них стимулятор для мысли. «Если летящая стрела в каждый момент времени находится в покое и занимает пространство, равное ее длине, то когда она движется?» В самом деле, когда? Этот вопрос хорошо бы задавать математикам и физикам, когда они начинают говорить нам о «состояниях» или «моментах», которые представляют собой «вещи в нерастянутом отрезке времени». Как можно построить движение из таких статических моментальных кадров покоя? Этот вопрос будет интересен для них и для любого другого человека тоже.

Четвертая загадка Зенона заставляет нас еще раз вернуться на стадион. Ахилл и черепаха ушли – может быть, вопреки Зенону, они все-таки дошли до двери, – и вместо них перед нами три движущихся «тела» – повозки или колесницы, – выстроенные в определенном порядке. Одна стоит, вторая проезжает мимо нее. Сколько времени нужно второй, чтобы проехать расстояние, равное длине колесницы?

Это, разумеется, зависит от скорости движущейся колесницы. Но какую бы скорость мы себе ни представили, нас просят принять «время проезда расстояния, равного одной длине колесницы», за единицу времени. (Здесь нужно заметить, что для здравомыслящего грека, любителя гонок на колесницах, длина колесницы была естественной мерой и расстояния, на которое одна колесница обгоняет другую, и времени, на которое раньше она финиширует.) А теперь представим себе, что третья колесница движется с той же скоростью, что вторая, но в противоположном направлении. Когда эти две колесницы проезжают одна мимо другой, время, необходимое каждой из них, чтобы проехать расстояние, равное одной длине колесницы, равно лишь половине исходной единицы. Итак, заключает Зенон свой парадокс, пол-единицы времени равняются целой единице времени. Этот его аргумент, когда оказывается понят, сильно озадачивает любого человека, который всегда считал само собой разумеющимся, что движение и покой – абсолютные противоположности. Те ответы, которые приходят в этом случае на ум нам самим, пришли в наш здравый смысл из теории относительности. Мы понимаем, что движение, конечно, всегда происходит относительно какой-то системы координат, то есть одна и та же колесница имеет разные скорости в зависимости от способа, которым измеряется скорость. Для слушателей Зенона эта мысль вовсе не была привычной. Если бы Зенон сказал в своем выводе: «Поэтому одно и то же движущееся тело одновременно имеет разные скорости», слушатели посчитали бы это такой же нелепостью, как то, что он им предложил: что целый отрезок времени равен половине этого отрезка.

Парадокс Зенона «Стадион»

AAA находится в покое, BBB движется от знака поворота, а CCC движется к знаку поворота с той же скоростью. Если мы примем «время проезда расстояния, равного одной длине колесницы», за единицу времени и измерим его по движению B относительно A, то B проедет мимо C за половину этого времени. Это противоречит представлению о том, что исходная выбранная единица времени была неделимой. Этот аргумент можно применить, чтобы показать, что не может быть наименьшего неделимого отрезка времени.

Хотя современному читателю ясно, что Зенон действительно обнаружил важную истину, наш здравый смысл XX века настолько привык к тому, что скорость относительна, что эта четвертая задача для нас менее интересна, чем остальные три. Однако, если мы посмотрим на эти парадоксы как на критические выпады против «научных» идей о движении, которые излагали прифагорейцы, мы обнаружим, что в этом последнем из четырех парадоксов Зенон спрятал еще одну задачу.

В то время, когда жили Зенон и Парменид, пифагорейцы были в западном мире экспертами по естественным наукам и математике. Выполняют ли четыре парадокса Зенона свою функцию критики распространенных тогда более точных определений пространства, времени и движения?

Пифагорейцы, похоже, пришли к соглашению, что физический мир, включая пространство и время, складывается из отдельных «точек» и «моментов». Поэтому они определили бы движение примерно так, как мы определяем скорость, – как перемещение через определенное количество точек пространства за определенное количество моментов времени. В физике и геометрии пифагорейцы также единогласно признавали положение, что любой непрерывный объект, имеющий длину, – например, линия или ее часть – может быть разделен на две части. Но помимо этого согласованного общего мнения не было ни одного принятого всей их школой взгляда на то, каков размер моментов и точек: они могли не иметь вообще никакого размера или могли иметь соответственно конечную длину и конечную длительность. Не было согласованного единого мнения и на то, следует ли рассматривать линию, определяемую точками, как ряд точек, расположенных одна вплотную к другой, или считать, что точки на линии отмечают границы интервалов, а промежутки между точками заняты какой-то разновидностью пустоты или пространства.

Отсутствие согласия по поводу конкретных деталей означало, что Зенон должен был рассмотреть четыре возможных случая, чтобы показать, что ни одно точное описание не может быть свободно от противоречий. Похоже, он чувствовал, что Парменид уже доказал нелепость попыток заполнить промежутки между точками каким-то видом пустоты. Такая пустота была бы формой небытия, а поскольку ничто не может что-то делать и не может иметь какие-то свойства, было бы нелогичным считать, что оно разделяет точки или связывает их. Поэтому не вызывают возражений с точки зрения логики только те варианты, в которых сегменты пространства (и времени) вплотную прилегают один к другому.

Четыре возможных у пифагорейцев способа описать движение объединяются в две группы: либо (1) сегменты пространства и части времени не похожи друг на друга, либо (2) они похожи. Если (1) они не похожи, то либо (1a) каждый момент времени имеет определенную протяженность, а сегменты пространства ее не имеют, либо (1b) дело обстоит наоборот: точки имеют конечную длину, а моменты времени не имеют длительности. Если (2) время и пространство подобны одно другому, то либо (2a) элементы и того и другого не имеют никакой протяженности, либо (2b) элементы и того и другого имеют какую-то минимальную конечную длину [то есть либо T = 1, S = 1, либо T = 0, S = 0].

Именно эти четыре возможности и рассмотрены по порядку в четырех парадоксах движения. Зримо представить это в компактной форме вам может помочь таблица:

Для начала вернемся к задаче «Деление на два» и обратим внимание на то, что в этой головоломке предполагается, что пространство между вами и ведущей наружу дверью можно делить бесконечно. И для Зенона, и для Пифагора это означало, что пространственные точки не имеют длины. В то же время, когда Зенон сказал: «Чтобы пройти через каждую точку пространства, нужно какое-то время», он предполагал, что у моментов времени есть какая-то «длина» и поэтому, если сложить бесконечное количество моментов, в сумме получится бесконечное время. Это противоречие происходит оттого, что к пространству применяется пифагорейский постулат о том, что любое непрерывное количество можно разделить на две части, а к времени применяется другая пифагорейская теорема, что непрерывное количество представляет собой последовательность бесконечного числа отдельных точек. (С точки зрения арифметики раз пространственные точки не имеют длины и поэтому их длина равна нулю, то при их сложении не может получиться длина больше нуля. Но поскольку моменты времени имеют длительность, сумма любого количества этих моментов будет больше, чем нуль. Если теперь описать движение как отношение расстояния к времени s/t, получится 0/t, то есть неподвижность.)

В парадоксе об Ахилле делается противоположное допущение. Когда Зенон заявляет, что Ахилл никогда не сможет обогнать черепаху, он явно говорит о времени, которое можно делить на две части до бесконечности и которое, следовательно, состоит из не имеющих протяженности моментов; но он предполагает, что в каждый момент времени оказывается пройден какой-то конечный отрезок пути. В этом случае оказывается, что скорость любого движения равна бесконечности, потому что отношение расстояния к времени (s/t) равно s/0. Аристотель считал парадокс об Ахилле «детским», потому что «очевидно, что пространство делится на части таким же образом, как время». Но Аристотель не понял, что Зенон использовал парадокс об Ахилле для того, чтобы опровергнуть одно из логически возможных пифагорейских толкований. (Фактически эти два первых рассмотренных Зеноном случая никогда не принимались всерьез как научные гипотезы вплоть до XX века; но пифагореец мог бы рассматривать их, и потому Зенон включил их в свою атаку по всему фронту.)

В парадоксе о стреле допущения достаточно простые и очевидные: если ни моменты времени, ни сегменты пространства не имеют совершенно никакой протяженности, отношение расстояние к времени всегда будет 0/0, а это выражение не имеет смысла. Причина того, что задача о стреле создает такие фундаментальные трудности, состоит в том, что мы часто хотим разрезать пространство и время на отдельные фрагменты, как на куски. Целая длинная и интересная глава в истории математики заполнена попытками, используя различные стратегии, опять сложить из этих фрагментов непрерывное целое.

И наконец, в четвертой задаче с движением колесниц относительно друг друга предполагается, что точки пространства и моменты времени имеют определенную протяженность, но она минимальна, и поэтому они имеют длину, но неделимы. (Если бы они были делимыми, то многократным делением на два их можно было бы разделить до частей, каждая из которых была бы ничем, и перед нами опять был бы случай со стрелой.) Но допущение о неделимости сразу же оказывается неверным: мы видим, что факт относительности движения приводит к необходимости делить моменты или точки на более мелкие части, если мы не согласны с выводом самого Зенона: «Итак, два промежутка времени равны одному промежутку». То, что Зенон назвал движущиеся по стадиону предметы словом «онкос», означавшим что-то объемное, характерно для этого философа: обычные слушатели сразу понимали, что здесь имеются в виду повозки или колесницы, и представляли их себе; но слово «онкос» еще означало «физическое тело» у пифагорейцев, и более ученый слушатель мог представить себе просторный стадион и на нем крошечные пифагорейские точки – движущиеся онкой -тела.

Четырьмя парадоксами Зенон очень хорошо достигает того, чего хотел. Он логически строго показывает, что в пифагорейских представлениях о движении, пространстве и времени что-то неверно. Эти демонстрационные примеры Зенона не убедили более поздних мыслителей принять выводы Парменида, однако заставили этих мыслителей проникнуться уважением к формальной логике и увидеть новые возможности ее применения. Еще они, естественно, заставили их попытаться сформулировать пифагорейские понятия по-новому, таким образом, чтобы исключить показанные Зеноном противоречия. Эти попытки имели много форм: у Анаксагора – отказ от представления об отдельных точках и замена их непрерывной последовательностью, у Аристотеля – полное отделение арифметики от геометрии, а в атомистической теории – лежащее в ее основе четкое разграничение физической и математической «делимости».

Понятие времени и проблема континуума Гайденко Пиама Павловна

Парадоксы континуума Зенона и решение их Аристотелем

Исторический анализ позволяет по-новому увидеть и глубже понять смысл современных дискуссий, посвященных проблеме континуума и различных его видов. В своей работе мы коснемся лишь наиболее важных, узловых моментов в истории понятия непрерывности, начиная с античности и кончая XVII–XVIII вв. Как уже упоминалось, впервые проблема континуума была поставлена Зеноном из Элеи, выявившим парадоксы, возникающие при попытке мыслить движение в понятиях. Кратко содержание этих парадоксов передает Аристотель: «Есть четыре рассуждения Зенона о движении, доставляющие большие затруднения тем, которые хотят их разрешить. Первое, о несуществовании движения на том основании, что перемещающееся тело должно прежде дойти до половины, чем до конца… Второе, так называемый Ахиллес. Оно заключается в том, что существо более медленное в беге никогда не будет настигнуто самым быстрым, ибо преследующему необходимо раньше прийти в то место, откуда уже двинулось убегающее, так что более медленное всегда имеет некоторое преимущество… Третье… заключается в том, что летящая стрела стоит неподвижно; оно вытекает из предположения, что время слагается из отдельных „теперь“… Четвертое рассуждение относится к двум разным массам, движущимся с равной скоростью: одни - с конца ристалища, другие - от середины, в результате чего, по его мнению, получается, что половина времени равна его двойному количеству» (Аристотель. Физика. VI, 9).

Первая апория - «Дихотомия» - доказывает невозможность движения, поскольку движущееся тело, прежде чем преодолеть определенное расстояние, должно сначала пройти его половину, а для этого - половину этой половины и т. д. до бесконечности. В самом деле, если пространственный континуум рассматривать как актуально данное бесконечное множество элементов, то движение в таком континууме невозможно мыслить, ибо занять бесконечное количество последовательных положений в ограниченное время невозможно: строго говоря, движение здесь не может даже начаться.

В основе апории «Ахиллес» - то же самое затруднение: пока Ахиллес преодолевает расстояние, отделяющее его от черепахи, последняя пройдет еще один отрезок пути и т. д. до бесконечности. Чтобы догнать ее, самый быстроногий бегун должен последовательно занять бесконечное множество мест, которые занимала черепаха. В обеих апориях Зенон предполагает континуум делимым до бесконечности, но эту бесконечность считает актуально существующей, т. е. бытием в том смысле, о каком мы говорили выше. В третьей апории - «Стрела» - философ доказывает, что летящая стрела покоится. Зенон здесь исходит из понимания времени как суммы неделимых моментов «теперь», а пространства - как суммы неделимых точек. В каждый момент времени, рассуждает Зенон, стрела занимает место, равное своему объему, а значит, движение можно мыслить лишь как сумму «продвинутостей» - состояний покоя, ибо при действительном движении предмет должен занимать место большее, чем он сам. Атомистический континуум, как доказывает Зенон, не позволяет движению ни существовать, ни быть мыслимым.

Мы не будем рассматривать четвертую апорию - «Стадий», по своим предпосылкам сходную со «Стрелой». С помощью этих апорий Зенон пытается доказать, что, независимо от того, рассматривать ли континуум как делимый до бесконечности или же как состоящий из неделимых моментов, движение в равной мере окажется невозможным. Смысл парадоксов Зенона - в стремлении доказать, что множественный и изменчивый чувственный мир становления есть мир иллюзорный и не допускающий строго научного познания; об этом, как хочет доказать Зенон, неопровержимо свидетельствует то, что любая попытка постигнуть движение с помощью строгого рассуждения ведет к неразрешимым противоречиям…

Теория континуума Аристотеля служит фундаментом не только физики, но и математики, поскольку Аристотель предложил новое обоснование математики по сравнению с тем, какое давала пифагорейско-платоновская школа. Анализируя понятие непрерывности, как его обосновал Аристотель, можно видеть, как он понимает связь физики с математикой. Итак, что же такое непрерывность? Это есть, по Аристотелю, определенный тип связи элементов системы, отличающихся от других типов связи - последовательности и смежности. Последовательность, или следование по порядку, - условие смежности, а смежность - условие непрерывности. Важно уяснить различие между смежным и непрерывным: если предметы соприкасаются, но при этом сохраняют каждый свои края, так что соприкасающиеся границы не сливаются в одну общую, то мы имеем дело со смежностью; если же граница двух предметов (отрезков линии, «частей» времени и т. д.) оказывается общей, то тут речь идет о непрерывности. «Я говорю о непрерывном, - пишет Аристотель, - когда граница, по которой соприкасаются оба следующих друг за другом предмета, становится для обоих одной и той же и, как показывает название, не прерывается…» (Аристотель. Физика. V, 226b-227a).

Непрерывными, по Аристотелю, могут быть не только части пространства и времени, но и движения; более того, подлинно непрерывным он считает то, что непрерывно по движению (Аристотель. Физика. V, 4). Чтобы движение было непрерывным, должны быть выполнены три условия: единство (тождественность) вида движения, единство движущегося предмета и единство времени.

Непрерывное, по Аристотелю, - это то, что делится на части, всегда делимые. А это значит, что непрерывное не может быть составлено из неделимых. Таким образом, Аристотель снимает те трудности, которые возникают в физике при допущении, что пространство и время состоят из неделимых, и получает возможность мыслить движение как непрерывный процесс, а не как сумму «продвинутостей». Непрерывность составляет условие возможности движения и его мыслимости. Остаются, однако, две первых апории - «Дихотомия» и «Ахиллес», основанные на бесконечной делимости пространства и времени. Здесь для разрешения противоречия Аристотель действует иначе. Если любой отрезок пути в силу его непрерывности делим до бесконечности, то движение окажется невозможным только при забвении того, что и время, в течение которого тело проходит этот путь, тоже непрерывно, т. е. делимо до бесконечности. А если учесть, что непрерывности пути соответствует непрерывность времени, то парадокс снимается. «Поэтому ошибочно рассуждение Зенона, что невозможно пройти бесконечное, т. е. коснуться бесконечного множества отдельных частей в ограниченное время. Ведь длина и время, как и вообще все непрерывное, называются бесконечными в двояком смысле: или в отношении деления, или в отношении границ. И вот, бесконечного в количественном отношении нельзя коснуться в ограниченное время, бесконечного согласно делению - возможно, так как само время в этом смысле бесконечно. Следовательно, приходится проходить бесконечность в бесконечное, а не в ограниченное время и касаться бесконечного множества частей бесконечным, а не ограниченным множеством» (Аристотель. Физика. VI, 2, 233a).

Аристотелево определение непрерывности по существу совпадает с аксиомой Евдокса, получившей название также аксиомы Архимеда и сформулированной Евклидом в четвертом определении У книги «Начал»: «Говорят, что величины имеют отношение между собой, если они, взятые кратно, могут превзойти друг друга». Вот как Аристотель формулирует евдоксов принцип отношений, показывая, что его альтернативой будет парадокс «Дихотомия»: «Если, взявши от конечной величины определенную часть, снова взять ее в той же пропорции, т. е. не ту же самую величину, которая взята от целого, то конечную величину нельзя пройти до конца; если же настолько увеличивать пропорцию, чтобы брать всегда одну и ту же величину, то пройти можно, так как конечную величину всегда можно исчерпать любой определенной величиной» (Аристотель. Физика. III, 206b). Вероятно, теория отношений Евдокса была попыткой решить вопрос о возможности установления отношения также и несоизмеримых величин. Пока не была открыта несоизмеримость, отношения могли выражаться целыми числами, и для определения отношения двух величин нужно было меньшую взять столько раз, сколько необходимо для того, чтобы она сравнялась с большей. Но отношения несоизмеримых величин невозможно выразить в виде пропорции, члены которой будут целыми числами. Чтобы все же иметь возможность устанавливать отношения несоизмеримых величин, Евдокс предложил такой выход: если для двух величин a и b, где a > b, можно подобрать такое число n, чтобы меньшая величина, взятая n раз, превзошла большую, т. е. чтобы было справедливо неравенство nb > a, то величины a и b находятся между собой в некотором отношении. В противном же случае они не находятся ни в каком отношении, что действительно имеет место там, где приходится иметь дело с бесконечно малыми величинами, которые были известны грекам в виде, например, роговидных углов: последние не имеют отношения с прямолинейными углами, ибо роговидный угол всегда меньше любого прямолинейного угла. Как пишет И.Г. Башмакова, «роговидные углы по отношению к любому прямолинейному являются актуальными бесконечно малыми, или неархимедовыми величинами». Именно эти величины, согласно Евдоксу, Архимеду и Аристотелю, не находятся ни в каком отношении с конечными.

Аристотель, как известно, не принимает понятия актуальной бесконечности, и его позиция совпадает с принципами античной математики. Он пользуется только понятием потенциально бесконечного, т. е. бесконечного делимого, которое, «будучи проходимым по природе, не имеет конца прохождения, или предела» (Аристотель. Физика. III, 6, 206b).

Сказать, что бесконечное существует только как потенциальное, а не как актуальное - значит сказать, что оно становится, возникает, а не есть нечто законченное, завершенное, не есть бытие. Пример потенциально бесконечного - это беспредельно возрастающий числовой ряд, ряд натуральных чисел, который, сколько бы мы его ни увеличивали, остается конечной величиной. Потенциально бесконечное всегда имеет дело с конечностью и есть беспредельное движение по конечному. Принцип непрерывности, как его задал Аристотель, базируется на понятии потенциально бесконечного.

Бесконечное, таким образом, есть, по Аристотелю, возможное, а не действительное, материя, а не форма: не случайно же материю Аристотель понимает как возможность. Не допуская актуальной бесконечности, Аристотель определяет бесконечное как то, вне чего еще всегда что-то есть. А может ли существовать нечто такое, вне чего больше ничего нет? И если да, то как его назвать? «Там, где вне ничего нет, - говорит Аристотель, - это законченное и целое: это то, у которого ничто не отсутствует, например, целое представляет собой человек или ящик… Целое и законченное или совершенно одно и тоже, или сродственны по природе: законченным не может быть ничто, не имеющее конца, конец же граница» (Аристотель. Физика. III, 6, 207b). Бесконечное - это материя, т. е. в ее аристотелевском понимании нечто вполне неопределенное, не имеющее в себе своей связи и лишенное всякой структуры. Целое же - это материя оформленная, и «конец», «граница», структурирующая его и делающая чем-то актуально сущим, действительным - это форма. Именно потому, что началом актуально сущего является форма, а форма есть предел, начало цели (она же - «конец», граница), он отвергает возможность актуально бесконечного: такое понятие является, по Аристотелю, как, впрочем, и по Платону, самопротиворечивым.