Похожие на обратные по многим свойствам.

Энциклопедичный YouTube

1 / 5

✪ Как находить обратную матрицу - bezbotvy

✪ Обратная матрица (2 способа нахождения)

✪ Обратная матрица #1

✪ 2015-01-28. Обратная матрица 3x3

✪ 2015-01-27. Обратная матрица 2х2

Субтитры

Свойства обратной матрицы

• det A − 1 = 1 det A {\displaystyle \det A^{-1}={\frac {1}{\det A}}} , где det {\displaystyle \ \det } обозначает определитель .
• (A B) − 1 = B − 1 A − 1 {\displaystyle \ (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}} для двух квадратных обратимых матриц A {\displaystyle A} и B {\displaystyle B} .
• (A T) − 1 = (A − 1) T {\displaystyle \ (A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}} , где (. . .) T {\displaystyle (...)^{T}} обозначает транспонированную матрицу.
• (k A) − 1 = k − 1 A − 1 {\displaystyle \ (kA)^{-1}=k^{-1}A^{-1}} для любого коэффициента k ≠ 0 {\displaystyle k\not =0} .
• E − 1 = E {\displaystyle \ E^{-1}=E} .
• Если необходимо решить систему линейных уравнений , (b - ненулевой вектор) где x {\displaystyle x} - искомый вектор, и если A − 1 {\displaystyle A^{-1}} существует, то x = A − 1 b {\displaystyle x=A^{-1}b} . В противном случае либо размерность пространства решений больше нуля, либо их нет вовсе.

Способы нахождения обратной матрицы

Если матрица обратима, то для нахождения обратной матрицы можно воспользоваться одним из следующих способов:

Точные (прямые) методы

Метод Гаусса-Жордана

Возьмём две матрицы: саму A и единичную E . Приведём матрицу A к единичной матрице методом Гаусса-Жордана применяя преобразования по строкам (можно также применять преобразования и по столбцам, но не в перемешку). После применения каждой операции к первой матрице применим ту же операцию ко второй. Когда приведение первой матрицы к единичному виду будет завершено, вторая матрица окажется равной A −1 .

При использовании метода Гаусса первая матрица будет умножаться слева на одну из элементарных матриц Λ i {\displaystyle \Lambda _{i}} (трансвекцию или диагональную матрицу с единицами на главной диагонали, кроме одной позиции):

Λ 1 ⋅ ⋯ ⋅ Λ n ⋅ A = Λ A = E ⇒ Λ = A − 1 {\displaystyle \Lambda _{1}\cdot \dots \cdot \Lambda _{n}\cdot A=\Lambda A=E\Rightarrow \Lambda =A^{-1}} . Λ m = [ 1 … 0 − a 1 m / a m m 0 … 0 … 0 … 1 − a m − 1 m / a m m 0 … 0 0 … 0 1 / a m m 0 … 0 0 … 0 − a m + 1 m / a m m 1 … 0 … 0 … 0 − a n m / a m m 0 … 1 ] {\displaystyle \Lambda _{m}={\begin{bmatrix}1&\dots &0&-a_{1m}/a_{mm}&0&\dots &0\\&&&\dots &&&\\0&\dots &1&-a_{m-1m}/a_{mm}&0&\dots &0\\0&\dots &0&1/a_{mm}&0&\dots &0\\0&\dots &0&-a_{m+1m}/a_{mm}&1&\dots &0\\&&&\dots &&&\\0&\dots &0&-a_{nm}/a_{mm}&0&\dots &1\end{bmatrix}}} .

Вторая матрица после применения всех операций станет равна Λ {\displaystyle \Lambda } , то есть будет искомой. Сложность алгоритма - O (n 3) {\displaystyle O(n^{3})} .

С помощью матрицы алгебраических дополнений

Матрица, обратная матрице A {\displaystyle A} , представима в виде

A − 1 = adj (A) det (A) {\displaystyle {A}^{-1}={{{\mbox{adj}}(A)} \over {\det(A)}}}

где adj (A) {\displaystyle {\mbox{adj}}(A)} - присоединенная матрица ;

Сложность алгоритма зависит от сложности алгоритма расчета определителя O det и равна O(n²)·O det .

Использование LU/LUP-разложения

Матричное уравнение A X = I n {\displaystyle AX=I_{n}} для обратной матрицы X {\displaystyle X} можно рассматривать как совокупность n {\displaystyle n} систем вида A x = b {\displaystyle Ax=b} . Обозначим i {\displaystyle i} -ый столбец матрицы X {\displaystyle X} через X i {\displaystyle X_{i}} ; тогда A X i = e i {\displaystyle AX_{i}=e_{i}} , i = 1 , … , n {\displaystyle i=1,\ldots ,n} ,поскольку i {\displaystyle i} -м столбцом матрицы I n {\displaystyle I_{n}} является единичный вектор e i {\displaystyle e_{i}} . другими словами, нахождение обратной матрицы сводится к решению n уравнений с одной матрицей и разными правыми частями. После выполнения LUP-разложения (время O(n³)) на решение каждого из n уравнений нужно время O(n²), так что и эта часть работы требует времени O(n³) .

Если матрица A невырождена, то для неё можно рассчитать LUP-разложение P A = L U {\displaystyle PA=LU} . Пусть P A = B {\displaystyle PA=B} , B − 1 = D {\displaystyle B^{-1}=D} . Тогда из свойств обратной матрицы можно записать: D = U − 1 L − 1 {\displaystyle D=U^{-1}L^{-1}} . Если умножить это равенство на U и L то можно получить два равенства вида U D = L − 1 {\displaystyle UD=L^{-1}} и D L = U − 1 {\displaystyle DL=U^{-1}} . Первое из этих равенств представляет собой систему из n² линейных уравнений для n (n + 1) 2 {\displaystyle {\frac {n(n+1)}{2}}} из которых известны правые части (из свойств треугольных матриц). Второе представляет также систему из n² линейных уравнений для n (n − 1) 2 {\displaystyle {\frac {n(n-1)}{2}}} из которых известны правые части (также из свойств треугольных матриц). Вместе они представляют собой систему из n² равенств. С помощью этих равенств можно реккурентно определить все n² элементов матрицы D. Тогда из равенства (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D. получаем равенство A − 1 = D P {\displaystyle A^{-1}=DP} .

В случае использования LU-разложения не требуется перестановки столбцов матрицы D но решение может разойтись даже если матрица A невырождена.

Сложность алгоритма - O(n³).

Итерационные методы

Методы Шульца

{ Ψ k = E − A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i {\displaystyle {\begin{cases}\Psi _{k}=E-AU_{k},\\U_{k+1}=U_{k}\sum _{i=0}^{n}\Psi _{k}^{i}\end{cases}}}

Оценка погрешности

Выбор начального приближения

Проблема выбора начального приближения в рассматриваемых здесь процессах итерационного обращения матриц не позволяет относиться к ним как к самостоятельным универсальным методам, конкурирующими с прямыми методами обращения, основанными, например, на LU-разложении матриц. Имеются некоторые рекомендации по выбору U 0 {\displaystyle U_{0}} , обеспечивающие выполнение условия ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (спектральный радиус матрицы меньше единицы), являющегося необходимым и достаточным для сходимости процесса. Однако при этом, во-первых, требуется знать сверху оценку спектра обращаемой матрицы A либо матрицы A A T {\displaystyle AA^{T}} (а именно, если A - симметричная положительно определённая матрица и ρ (A) ≤ β {\displaystyle \rho (A)\leq \beta } , то можно взять U 0 = α E {\displaystyle U_{0}={\alpha }E} , где ; если же A - произвольная невырожденная матрица и ρ (A A T) ≤ β {\displaystyle \rho (AA^{T})\leq \beta } , то полагают U 0 = α A T {\displaystyle U_{0}={\alpha }A^{T}} , где также α ∈ (0 , 2 β) {\displaystyle \alpha \in \left(0,{\frac {2}{\beta }}\right)} ; можно конечно упростить ситуацию и, воспользовавшись тем, что ρ (A A T) ≤ k A A T k {\displaystyle \rho (AA^{T})\leq {\mathcal {k}}AA^{T}{\mathcal {k}}} , положить U 0 = A T ‖ A A T ‖ {\displaystyle U_{0}={\frac {A^{T}}{\|AA^{T}\|}}} ). Во-вторых, при таком задании начальной матрицы нет гарантии, что ‖ Ψ 0 ‖ {\displaystyle \|\Psi _{0}\|} будет малой (возможно, даже окажется ‖ Ψ 0 ‖ > 1 {\displaystyle \|\Psi _{0}\|>1} ), и высокий порядок скорости сходимости обнаружится далеко не сразу.

Примеры

Матрица 2х2

A − 1 = [ a b c d ] − 1 = 1 det (A) [ d − b − c a ] = 1 a d − b c [ d − b − c a ] . {\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A})}}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}.}

Обращение матрицы 2х2 возможно только при условии, что a d − b c = det A ≠ 0 {\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0} .

Обратная матрица для данной это такая матрица, умножение исходной на которую дает единичную матрицу: Обязательным и достаточным условием наличия обратной матрицы является неравенство нулю детерминанта исходной (что в свою очередь подразумевает, что матрица должна быть квадратная). Если же определитель матрицы равняется нулю, то ее называют вырожденной и такая матрица не имеет обратной. В высшей математике обратные матрицы имеют важное значение и применяются для решения ряда задач. Например, на нахождении обратной матрицы построен матричный метод решения систем уравнений. Наш сервис сайт позволяет вычислять обратную матрицу онлайн двумя методами: методом Гаусса-Жордана и с помощью матрицы алгебраических дополнений. Прервый подразумевает большое количество элементарных преобразований внутри матрицы, второй - вычисление детерминанта и алгебраических дополнений ко всем элементам. Для вычисления определителя матрицы онлайн вы можете воспользоваться другим нашим сервисом - Вычисление детерминанта матрицы онлайн

.

Найти обратную матрицу на сайт

сайт позволяет находить обратную матрицу онлайн быстро и бесплатно. На сайте произвордятся вычисления нашим сервисом и выдается результат с подробным решением по нахождению обратной матрицы . Сервер всегда выдает только точный и верный ответ. В задачах по определению обратной матрицы онлайн , необходимо, чтобы определитель матрицы был отличным от нуля, иначе сайт сообщит о невозможности найти обратную матрицу ввиду равенства нулю определителя исходной матрицы. Задача по нахождению обратной матрицы встречается во многих разделах математики, являясь одним из самых базовых понятий алгебры и математическим инструментом в прикладных задачах. Самостоятельное определение обратной матрицы требует значительных усилий, много времени, вычислений и большой внимательности, чтобы не допустить описку или мелкую ошибку в вычислениях. Поэтому наш сервис по нахождению обратной матрицы онлайн значительно облегчит вам задачу и станет незаменимым инструментом для решения математических задач. Даже если вы находите обратную матрицу самостоятельно, мы рекомендуем проверить ваше решение на нашем сервере. Ввведите вашу исходную матрицу у нас на Вычисление обратной матрицы онлайн и сверьте ваш ответ. Наша система никогда не ошибается и находит обратную матрицу заданной размерности в режиме онлайн мгновенно! На сайте сайт допускаются символьные записи в элементах матриц , в этом случае обратная матрица онлайн будет представлена в общем символьном виде.

Нахождение обратной матрицы - задача, которая чаще решается двумя методами:

• методом алгебраических дополнений, при котором требуется находить определители и транспонировать матрицы;
• методом исключения неизвестных Гаусса, при котором требуется производить элементарные преобразования матриц (складывать строки, умножать строки на одно и то же число и т. д.).

Для особо любознательных существуют и другие методы, например, метод линейных преобразований. На этом уроке разберём три упомянутых метода и алгоритмы нахождения обратной матрицы этими методами.

Обратной матрицей А , называется такая матрица

А
. (1)

Обратной матрицей , которую требуется отыскать для данной квадратной матрицы А , называется такая матрица

произведение на которую матрицы А справа является единичной матрицей, т.е,
. (1)

Единичной матрицей называется диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице.

Теорема. Для каждой неособенной (невырожденной, несингулярной) квадратной матрицы можно найти обратную матрицу, и притом только одну. Для особенной (вырожденной, сингулярной) квадратной матрицы обратная матрица не существует.

Квадратная матрица называется неособенной (или невырожденной , несингулярной ), если её определитель не равен нулю, и особенной (или вырожденной , сингулярной ), если её определитель равен нулю.

Обратная матрица может быть найдена только для квадратной матрицы. Естественно, обратная матрица также будет квадратной и того же порядка, что и данная матрица. Матрица, для которой может быть найдена обратная матрица, называется обратимой матрицей.

Для обратной матрицы существует уместная аналогия с обратным числом. Для каждого числа a , не равного нулю, существует такое число b , что произведение a и b равно единице: ab = 1 . Число b называется обратным для числа b . Например, для числа 7 обратным является число 1/7, так как 7*1/7=1.

Нахождение обратной матрицы методом алгебраических дополнений (союзной матрицы)

Для неособенной квадратной матрицы А обратной является матрица

где - определитель матрицы А , а - матрица, союзная с матрицей А .

Союзной с квадратной матрицей A называется матрица того же порядка, элементами которой являются алгебраические дополнения соответствующих элементов определителя матрицы , транспонированной относительно матрицы A. Таким образом, если

то

и

Алгоритм нахождения обратной матрицы методом алгебраических дополнений

1. Найти определитель данной матрицы A . Если определитель равен нулю, нахождение обратной матрицы прекращается, так как матрица вырожденная и обратная для неё не существует.

2. Найти матрицу, транспонированную относительно A .

3. Вычислить элементы союзной матрицы как алгебраические дополнения марицы, найденной на шаге 2.

4. Применить формулу (2): умножить число, обратное определителю матрицы A , на союзную матрицу, найденную на шаге 4.

5. Проверить полученный на шаге 4 результат, умножив данную матрицу A на обратную матрицу. Если произведение этих матриц равно единичной матрицы, значит обратная матрица была найдена верно. В противном случае начать процесс решения снова.

Пример 1. Для матрицы

найти обратную матрицу.

Решение. Для нахождения обратной матрицы необходимо найти определитель матрицы А . Находим по правилу треугольников:

Следовательно, матрица А – неособенная (невырожденная, несингулярная) и для неё существует обратная.

Найдём матрицу, союзную с данной матрицей А .

Найдём матрицу , транспонированную относительно матрицы A :

Вычисляем элементы союзной матрицы как алгебраические дополнения матрицы, транспонированной относительно матрицы A :

Следовательно, матрица , союзная с матрицей A , имеет вид

Замечание. Порядок вычисления элементов и транспонирования матрицы может быть иным. Можно сначала вычислить алгебраические дополнения матрицы A , а затем транспонировать матрицу алгебраических дополнений. В результате должны получиться те же элементы союзной матрицы.

Применяя формулу (2), находим матрицу, обратную матрице А :

Нахождение обратной матрицы методом исключения неизвестных Гаусса

Первый шаг для нахождения обратной матрицы методом исключения неизвестных Гаусса - приписать к матрице A единичную матрицу того же порядка, отделив их вертикальной чертой. Мы получим сдвоенную матрицу . Умножим обе части этой матрицы на , тогда получим

,

Алгоритм нахождения обратной матрицы методом исключения неизвестных Гаусса

1. К матрице A приписать единичную матрицу того же порядка.

2. Полученную сдвоенную матрицу преобразовать так, чтобы в левой её части получилась единичная матрица, тогда в правой части на месте единичной матрицы автоматически получится обратная матрица. Матрица A в левой части преобразуется в единичную матрицу путём элементарных преобразований матрицы.

2. Если в процессе преобразования матрицы A в единичную матрицу в какой-либо строке или в каком-либо столбце окажутся только нули, то определитель матрицы равен нулю, и, следовательно, матрица A будет вырожденной, и она не имеет обратной матрицы. В этом случае дальнейшее нахождение обратной матрицы прекращается.

Пример 2. Для матрицы

найти обратную матрицу.

и будем её преобразовывать, так чтобы в левой части получилась единичная матрица. Начинаем преобразования.

Умножим первую строку левой и правой матрицы на (-3) и сложим её со второй строкой, а затем умножим первую строку на (-4) и сложим её с третьей строкой, тогда получим

.

Чтобы по возможности не было дробных чисел при последующих преобразованиях, создадим предварительно единицу во второй строке в левой части сдвоенной матрицы. Для этого умножим вторую строку на 2 и вычтем из неё третью строку, тогда получим

.

Сложим первую строку со второй, а затем умножим вторую строку на (-9) и сложим её с третьей строкой. Тогда получим

.

Разделим третью строку на 8, тогда

.

Умножим третью строку на 2 и сложим её со второй строкой. Получается:

.

Переставим местами вторую и третью строку, тогда окончательно получим:

.

Видим, что в левой части получилась единичная матрица, следовательно, в правой части получилась обратная матрица . Таким образом:

.

Можно проверить правильность вычислений, умножим исходную матрицу на найденную обратную матрицу:

В результате должна получиться обратная матрица.

Пример 3. Для матрицы

найти обратную матрицу.

Решение. Составляем сдвоенную матрицу

и будем её преобразовывать.

Первую строку умножаем на 3, а вторую на 2, и вычитаем из второй, а затем первую строку умножаем на 5, а третью на 2 и вычитаем из третьей строки, тогда получим

.

Первую строку умножаем на 2 и складываем её со второй, а затем из третьей строки вычитаем вторую, тогда получим

.

Видим, что в третьей строке в левой части все элементы получились равными нулю. Следовательно, матрица вырожденная и обратной матрицы не имеет. Дальнейшее нахождение обратной марицы прекращаем.

Рассмотрим проблему определения операции, обратной умножению матриц.

Пусть A - квадратная матрица порядка n . Матрица A^{-1} , удовлетворяющая вместе с заданной матрицей A равенствам:

A^{-1}\cdot A=A\cdot A^{-1}=E,

называется обратной . Матрицу A называют обратимой , если для нее существует обратная, в противном случае - необратимой .

Из определения следует, что если обратная матрица A^{-1} существует, то она квадратная того же порядка, что и A . Однако не для всякой квадратной матрицы существует обратная. Если определитель матрицы A равен нулю (\det{A}=0) , то для нее не существует обратной. В самом деле, применяя теорему об определителе произведения матриц для единичной матрицы E=A^{-1}A получаем противоречие

\det{E}=\det(A^{-1}\cdot A)=\det{A^{-1}}\det{A}=\det{A^{-1}}\cdot0=0

так как определитель единичной матрицы равен 1. Оказывается, что отличие от нуля определителя квадратной матрицы является единственным условием существования обратной матрицы. Напомним, что квадратную матрицу, определитель которой равен нулю, называют вырожденной {особой), в противном случае - невырожденной {неособой).

Теорема 4.1 о существовании и единственности обратной матрицы. Квадратная матрица A=\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nn} \end{pmatrix} , определитель которой отличен от нуля, имеет обратную матрицу и притом только одну:

A^{-1}=\frac{1}{\det{A}}\cdot\! \begin{pmatrix}A_{11}&A_{21}&\cdots&A_{1n}\\ A_{12}&A_{22}&\cdots&A_{n2}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ A_{1n}&A_{2n}&\cdots&A_{nn} \end{pmatrix}= \frac{1}{\det{A}}\cdot A^{+},

где A^{+} - матрица, транспонированная для матрицы, составленной из алгебраических дополнений элементов матрицы A .

Матрица A^{+} называется присоединенной матрицей по отношению к матрице A .

В самом деле, матрица \frac{1}{\det{A}}\,A^{+} существует при условии \det{A}\ne0 . Надо показать, что она обратная к A , т.е. удовлетворяет двум условиям:

\begin{aligned}\mathsf{1)}&~A\cdot\!\left(\frac{1}{\det{A}}\cdot A^{+}\right)=E;\\ \mathsf{2)}&~ \!\left(\frac{1}{\det{A}}\cdot A^{+}\right)\!\cdot A=E.\end{aligned}

Докажем первое равенство. Согласно п.4 замечаний 2.3, из свойств определителя следует, что AA^{+}=\det{A}\cdot E . Поэтому

A\cdot\!\left(\frac{1}{\det{A}}\cdot A^{+}\right)= \frac{1}{\det{A}}\cdot AA^{+}= \frac{1}{\det{A}}\cdot \det{A}\cdot E=E,

что и требовалось показать. Аналогично доказывается второе равенство. Следовательно, при условии \det{A}\ne0 матрица A имеет обратную

A^{-1}=\frac{1}{\det{A}}\cdot A^{+}.

Единственность обратной матрицы докажем от противного. Пусть кроме матрицы A^{-1} существует еще одна обратная матрица B\,(B\ne A^{-1}) такая, что AB=E . Умножая обе части этого равенства слева на матрицу A^{-1} , получаем \underbrace{A^{-1}AB}_{E}=A^{-1}E . Отсюда B=A^{-1} , что противоречит предположению B\ne A^{-1} . Следовательно, обратная матрица единственная.

Замечания 4.1

1. Из определения следует, что матрицы A и A^{-1} перестановочны.

2. Матрица, обратная к невырожденной диагональной, является тоже диагональной:

\Bigl[\operatorname{diag}(a_{11},a_{22},\ldots,a_{nn})\Bigr]^{-1}= \operatorname{diag}\!\left(\frac{1}{a_{11}},\,\frac{1}{a_{22}},\,\ldots,\,\frac{1}{a_{nn}}\right)\!.

3. Матрица, обратная к невырожденной нижней (верхней) треугольной, является нижней (верхней) треугольной.

4. Элементарные матрицы имеют обратные, которые также являются элементарными (см. п.1 замечаний 1.11).

Свойства обратной матрицы

Операция обращения матрицы обладает следующими свойствами:

\begin{aligned}\bold{1.}&~~ (A^{-1})^{-1}=A\,;\\ \bold{2.}&~~ (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\,;\\ \bold{3.}&~~ (A^T)^{-1}=(A^{-1})^T\,;\\ \bold{4.}&~~ \det{A^{-1}}=\frac{1}{\det{A}}\,;\\ \bold{5.}&~~ E^{-1}=E\,. \end{aligned}

если имеют смысл операции, указанные в равенствах 1-4.

Докажем свойство 2: если произведение AB невырожденных квадратных матриц одного и того же порядка имеет обратную матрицу, то (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} .

Действительно, определитель произведения матриц AB не равен нулю, так как

\det(A\cdot B)=\det{A}\cdot\det{B} , где \det{A}\ne0,~\det{B}\ne0

Следовательно, обратная матрица (AB)^{-1} существует и единственна. Покажем по определению, что матрица B^{-1}A^{-1} является обратной по отношению к матрице AB . Действительно.

Пусть дана квадратная матрица . Требуется найти обратную матрицу.

Первый способ. В теореме 4.1 существования и единственности обратной матрицы указан один из способов ее нахождения.

1. Вычислить определитель данной матрицы. Если, то обратной матрицы не существует (матрицавырожденная).

2. Составить матрицу из алгебраических дополненийэлементов матрицы.

3. Транспонируя матрицу , получить присоединенную матрицу.

4. Найти обратную матрицу (4.1), разделив все элементы присоединенной матрицы на определитель

Второй способ. Для нахождения обратной матрицы можно использовать элементарные преобразования.

1. Составить блочную матрицу , приписав к данной матрицеединичную матрицу того же порядка.

2. При помощи элементарных преобразований, выполняемых над строками матрицы , привести ее левый блокк простейшему виду. При этом блочная матрица приводится к виду, где- квадратная матрица, полученная в результате преобразований из единичной матрицы.

3. Если , то блокравен обратной матрице, т.е.. Если, то матрицане имеет обратной.

В самом деле, при помощи элементарных преобразований строк матрицы можно привести ее левый блокк упрощенному виду(см. рис. 1.5). При этом блочная матрицапреобразуется к виду, где- элементарная матрица, удовлетворяющая равенству. Если матрицаневырожденная, то согласно п.2 замечаний 3.3 ее упрощенный вид совпадает с единичной матрицей. Тогда из равенстваследует, что. Если же матрицавырожденная, то ее упрощенный видотличается от единичной матрицы, а матрицане имеет обратной.

11. Матричные уравнения и их решение. Матричная форма записи СЛАУ. Матричный способ (метод обратной матрицы) решения СЛАУ и условия его применимости.

Матричными уравнениями называются уравнения вида: A*X=C; X*A=C; A*X*B=C где матрица А,В,С известны,матрица Х не известна, если матрицы А и В не вырождены, то решения исходных матриц запишется в соответственном виде: Х=А -1 *С; Х=С*А -1 ; Х=А -1 *С*В -1 Матричная форма записи систем линейных алгебраических уравнений. С каждой СЛАУ можно связать несколько матриц; более того – саму СЛАУ можно записать в виде матричного уравнения. Для СЛАУ (1) рассмотрим такие матрицы:

Матрица A называется матрицей системы . Элементы данной матрицы представляют собой коэффициенты заданной СЛАУ.

Матрица A˜ называется расширенной матрицей системы . Её получают добавлением к матрице системы столбца, содержащего свободные члены b1,b2,...,bm. Обычно этот столбец отделяют вертикальной чертой, – для наглядности.

Матрица-столбец B называется матрицей свободных членов , а матрица-столбец X – матрицей неизвестных .

Используя введённые выше обозначения, СЛАУ (1) можно записать в форме матричного уравнения: A⋅X=B.

Примечание

Матрицы, связанные с системой, можно записать различными способами: всё зависит от порядка следования переменных и уравнений рассматриваемой СЛАУ. Но в любом случае порядок следования неизвестных в каждом уравнении заданной СЛАУ должен быть одинаков.

Матричный метод подходит для решения СЛАУ, в которых количество уравнений совпадает с числом неизвестных переменных и определитель основной матрицы системы отличен от нуля. Если система содержит больше трех уравнений, то нахождение обратной матрицы требует значительных вычислительных усилий, поэтому, в этом случае целесообразно использовать для решения метод Гаусса .

12. Однородные СЛАУ, условия существования их ненулевых решений. Свойства частных решений однородных СЛАУ.

Линейное уравнение называется однородным, если его свободный член равен нулю, и неоднородным в противном случае. Система, состоящая из однородных уравнений, называется однородной и имеет общий вид:

13 .Понятие линейной независимости и зависимости частных решений однородной СЛАУ. Фундаментальная система решений (ФСР) и её нахождение. Представление общего решения однородной СЛАУ через ФСР.

Система функций y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) называется линейно зависимой на интервале (a , b ), если существует набор постоянных коэффициентов , не равных нулю одновременно, таких, что линейная комбинация этих функций тождественно равна нулю на (a , b ): для . Если равенство для возможно только при , система функций y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) называется линейно независимой на интервале (a , b ). Другими словами, функции y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) линейно зависимы на интервале (a , b ), если существует равная нулю на (a , b ) их нетривиальная линейная комбинация. Функции y 1 (x ),y 2 (x ), …, y n (x ) линейно независимы на интервале (a , b ), если только тривиальная их линейная комбинация тождественно равна нулю на (a , b ).

Фундаментальной системой решений (ФСР) однородной СЛАУ называется базис этой системы столбцов.

Количество элементов в ФСР равно количеству неизвестных системы минус ранг матрицы системы. Любое решение исходной системы есть линейная комбинация решений ФСР.

Теорема

Общее решение неоднородной СЛАУ равно сумме частного решения неоднородной СЛАУ и общего решения соответствующей однородной СЛАУ.

1 . Если столбцы - решения однородной системы уравнений, то любая их линейная комбинациятакже является решением однородной системы.

В самом деле, из равенств следует, что

т.е. линейная комбинация решений является решением однородной системы.

2. Если ранг матрицы однородной системы равен , то система имеетлинейно независимых решений.

Действительно, по формулам (5.13) общего решения однородной системы найдем частных решений, придавая свободным переменным следующиестандартные наборы значений (всякий раз полагая, что одна из свободных переменных равна единице, а остальные - равны нулю):

которые линейно независимы. В самом деле, если из этих столбцов составить матрицу, то последние ее строк образуют единичную матрицу. Следовательно, минор, расположенный в последнихстроках не равен нулю (он равен единице), т.е. является базисным. Поэтому ранг матрицы будет равен. Значит, все столбцы этой матрицы линейно независимы (см. теорему 3.4).

Любая совокупность линейно независимых решенийоднородной системы называетсяфундаментальной системой (совокупностью) решений .

14 Минор -ого порядка, базисный минор, ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы.

Минором порядка k матрицы А называется детерминант некоторой ее квадратной подматрицы порядка k.

В матрице А размеров m x n минор порядка r называется базисным, если он отличен от нуля, а все миноры большего порядка, если они существуют, равны нулю.

Столбцы и строки матрицы А, на пересечении которых стоит базисный минор, называются базисными столбцами и строками А.

Теорема 1. (О ранге матрицы). У любой матрицы минорный ранг равен строчному рангу и равен столбцовому рангу.

Теорема 2.(О базисном миноре). Каждый столбец матрицы раскладывается в линейную комбинацию ее базисных столбцов.

Рангом матрицы (или минорным рангом) называется порядок базисного минора или, иначе, самый большой порядок, для которого существуют отличные от нуля миноры. Ранг нулевой матрицы по определению считают 0.

Отметим два очевидных свойства минорного ранга.

1) Ранг матрицы не меняется при транспонировании, так как при транспонировании матрицы все ее подматрицы транспонируются и миноры не меняются.

2) Если А’-подматрица матрицы А, то ранг А’ не превосходит ранга А, так как ненулевой минор, входящий в А’, входит и в А.

15. Понятие -мерного арифметического вектора. Равенство векторов. Действия над векторами (сложение, вычитание, умножение на число, умножение на матрицу). Линейная комбинация векторов.

Упорядоченная совокупность n действительных или комплексных чисел называется n-мерным вектором . Числа называются координатами вектора .

Два (ненулевых) вектора a и b равны, если они равнонаправлены и имеют один и тот же модуль. Все нулевые векторы считаются равными. Во всех остальных случаях векторы не равны.

Сложение векторов. Для сложения векторов есть два способа.1. Правило параллелограмма. Чтобы сложить векторы и, помещаем начала обоих в одну точку. Достраиваем до параллелограмма и из той же точки проводим диагональ параллелограмма. Это и будет сумма векторови.

2. Второй способ сложения векторов - правило треугольника. Возьмем те же векторы и . К концу первого вектора пристроим начало второго. Теперь соединим начало первого и конец второго. Это и есть сумма векторов и . По тому же правилу можно сложить и несколько векторов. Пристраиваем их один за другим, а затем соединяем начало первого с концом последнего.

Вычитание векторов. Вектор направлен противоположно вектору. Длины векторовиравны. Теперь понятно, что такое вычитание векторов. Разность векторов и - это сумма вектора и вектора .

Умножение вектора на число

При умножении вектора на число k получается вектор, длина которого в k раз отличается от длины. Он сонаправлен с вектором, если k больше нуля, и направлен противоположно, если k меньше нуля.

Скалярным произведением векторов называется произведение длин векторов на косинус угла между ними. Если векторы перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю. А вот так скалярное произведение выражается через координаты векторов и .

Линейная комбинация векторов

Линейной комбинацией векторов называют вектор

где - коэффициенты линейной комбинации. Если комбинация называется тривиальной, если - нетривиальной.

16 .Скалярное произведение арифметических векторов. Длина вектора и угол между векторами. Понятие ортогональности векторов.

Скалярным произведением векторов а и в называется число,

Скалярное произведение используется для вычисления:1)нахождения угла между ними;2)нахождение проекции векторов;3)вычисление длины вектора;4)условия перпендикулярности векторов.

Длиной отрезка АВ называют расстоянием между точками А иВ. Угол между векторами А и В называют угол α=(а,в) ,0≤ α ≤П. На который необходимо повернуть 1 вектор,чтоб его направления совпало с другим вектором. При условии,что их начала совпадут.

Ортом а называется вектор а имеющий единичную длину и направления а.

17. Система векторов и её линейная комбинация. Понятие линейной зависимости и независимости системы векторов. Теорема о необходимом и достаточном условиях линейной зависимости системы векторов.

Система векторов a1,a2,...,an называется линейно зависимой, если существуют числа λ1,λ2,...,λnтакие, что хотя бы одно из них отлично от нуля и λ1a1+λ2a2+...+λnan=0. В противном случае система называется линейно независимой.

Два вектора a1 и a2 называются коллинеарными если их направления совпадают или противоположны.

Три вектора a1,a2 и a3 называются компланарными если они параллельны некоторой плоскости.

Геометрические критерии линейной зависимости:

а) система {a1,a2} линейно зависима в том и только том случае, когда векторы a1 и a2 коллинеарны.

б) система {a1,a2,a3} линейно зависима в том и только том случае, когда векторы a1,a2 и a3компланарны.

теорема. (Необходимое и достаточное условие линейной зависимости системы векторов.)

Система векторов векторного пространства является линейно зависимой тогда и только тогда, когда один из векторов системы линейно выражается через другие вектора этой системы.

Следствие.1. Система векторов векторного пространства является линейно независимой тогда и только тогда, когда ни один из векторов системы линейно не выражается через другие вектора этой системы.2. Система векторов, содержащая нулевой вектор или два равных вектора, является линейно зависимой.